<-- Torna all'indice principale
Contenuti
2.1 Introduzione alla dinamica
2.2 Iterazioni
2.3 Sistemi lineari e non lineari
2.4 Mappa Logistica
2.1. Introduzione alla dinamica
La dinamica è lo studio delle modifiche di un sistema nel tempo. E' fondamentale per lo studio dei sistemi complessi.
Esempi tipici sono lo studio del moto dei pianeti soggetti alla gravità, la dinamica dei fluidi, la dinamica elettrica (flusso della corrente nei circuiti), la dinamica del clima, la dinamica delle folle, la modifica della popolazione, la dinamica finanziaria, la dinamica dei gruppi (es. animali o persone), la dinamica sociale (compreso la dinamica dei conflitti e quella della cooperazione).
La teoria dei sistemi dinamici è una branca della matematica che studia la dinamica dei sistemi.
Breve storia della scienza della dinamica
Aristotele (384-322 BC) presupponeva che ci fossero due sistemi con leggi separate, la terra ed il cielo.
Nicolò Copernico (1473-1543) introdusse la teoria della terra orbitante intorno al sole.
Galileo Galilei (1564-1642) col suo metodo confutò sperimentalmente le asserzioni di Galileo.
Isaac Newton (1643-1727) fu il fondatore della dinamica moderna, con il principio della gravitazione universale. Insieme a Liebnitz fondò l'analisi matematica, fondamentale per lo studio della dinamica dei sistemi.
Pierre Simon Laplace (1749-1827) fu il fondatore del determinismo: lo stato dell'universo dipende solo dagli stati precedenti e determinerà gli stati futuri.
Henry Poincaré (1854-1912) confutò queste teorie introducendo la nozione di caos. Inoltre asserì che piccole variazioni delle condizioni iniziali possono produrre grandi differenze del fenomeno, quindi la precisione della previsione è impossibile. Si parla di Butterfly Effect: una farfalla che batte le ali a Tokio può creare un uragano dalla parte opposta del mondo.
La teoria del caos è lo studio dei sistemi fisici che mostrano un andamento esponenziale dipendente dalle condizioni iniziali. Viene applicata nei campi più disparati: dall'attività cerebrale alla crescita della popolazione, dall'economia ai rubinetti che perdono. Che differenza c'è fra caos e casualità? Lo scopriremo grazie anche alla nozione di caos deterministico.
2.2 Iterazioni
Iniziamo a definire il concetto di iterazione: ripetere la stessa attività un certo numero di volte. Pensiamo alla crescita della popolazione. E' un processo in cui la riproduzione avviene iterativamente. Possiamo scrivere che \[n_{t+1} = B * n_t\] dove \(n_{t}\) e \(n_{t+1}\) rappresentano rispettivamente la popolazione al momento t e al momento t+1, mentre B è il tasso di natalità (birthrate).Questo è il nostro modello (vedere il modello SimplePopulationGrowth.nlogo). E' un modello lineare, perché può essere rappresentato in un grafico tramite una linea retta.
2.3 Sistemi lineari e non lineari
Nell'esempio precedente, non c'è interazione tra gli individui, e la crescita è senza limite. Il totale è la somma delle parti. Se ad es. iniziamo con un individuo, e dopo tre step ne abbiamo 8, iniziando con 5 volte il numero iniziale impostato originariamente, dopo tre step avremo 5 volte il numero finale (cioè avremo 5 x 8 = 40 individui). Questo perchè è un modello lineare.
Al contrario, consideriamo il seguente modello non lineare,
\[n_{t+1} = (R - D) * \bigg( n_t - \frac{{{n_t}}^2}{K} \bigg)\] dove \(K\) è il numero massimo di popolazione e D è il tasso di mortalità (Deathrate).
Questo modello si chiama Logistic Model ed è stato introdotto da Pierre Verhulst nel primo '800. Vedere LogisticModel.nlogo.
In questo caso il totale non è la somma delle parti. Se iniziamo con un individuo, dopo tre step ne abbiamo 7; se iniziamo con 5 individui, ne abbiamo, dopo tre step, solo 21 anziché 35 che sarebbe 5 volte il primo caso.
Scriviamo il modello in altro modo: sia \(R = B - D\), quindi: \[n_{t+1} = R * \bigg( n_t - \frac{{{n_t}}^2}{K} \bigg)\]
Dividendo entrambi i termini dell'uguaglianza per \(K\) e ponendo \(X_{t}=n_{t}/K\) possiamo scrivere: \[ X_{t+1}=R *(X_{t}-{X_{t}}^2)\]
Questa è l'equazione più famosa della teoria del caos.
